« Les séries divergentes ont-elles un sens ? »

Si les séries infinies accèdent au statut d’objet mathématique à part entière dès le 14ème siècle grâce notamment aux contributions novatrices d’Oresme, elles n’ont encore à cette époque, que très peu d’applications et sont surtout considérées comme un approfondissement mathématique du concept d’infini. Tout change à partir du 17ème siècle avec l’avènement du calcul infinitésimal, les séries infinies y jouant à ses débuts un rôle primordial. Les mathématiciens vont alors être naturellement conduits à sommer certaines séries divergentes avec plus ou moins de prudence et de dextérité, débouchant sur des paradoxes apparemment insolubles qui susciteront des controverses pendant des décennies. Au milieu du 18ème siècle, Euler fut le premier à poser les bases d’une véritable théorie des séries divergentes dans un article resté célèbre, sans toutefois parvenir à éteindre toutes les objections. Les raisonnements basés sur des calculs avec les séries divergentes resteront suspects pendant encore une grande partie du siècle suivant et il faudra attendre la toute fin du 19ème siècle pour que des mathématiciens prestigieux comme Poincaré et Borel soient en capacité, non seulement de montrer leur grande utilité, mais aussi de les justifier en toute rigueur, ouvrant la voie à de nouveaux développements. C’est cette évolution des idées concernant les séries divergentes que nous nous proposons de retracer.